Question

9．等比数列{a_n}满足a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}，{a}_{n-1}＜{n}^{2}}&{\;}\\{2{a}_{n-1}，{a}_{n-1}≥{n}^{2}}&{\;}\end{array}\right.$（n≥2），则a₁的取值范围是{a₁|a₁≥$\frac{9}{2}$}．

Answer 1

分析 对a₁分类讨论，利用已知及其等比数列的通项公式即可得出a₁的取值范围．

解答 解：①当${a}_{1}≤{2}^{2}=4$时，a₂=4．由于${a}_{2}＜{3}^{2}$，因此a₃=3²=9．
∵{a_n}为等比数列，∴${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$，则4²=9a₁，解得a₁=$\frac{16}{9}$．
而a₄=4²=16，不满足{a_n}为等比数列，舍去．
②当a₁≥2²时，a₂=2a₁，∴a₂≥8．
当8≤a₂＜9时，a₃=3²=9．
∵{a_n}为等比数列，∴${{a}_{2}}^{2}$=a₁a₃，则4${{a}_{1}}^{2}$=9a₁，解得a₁=$\frac{9}{4}$，舍去．
当a₂≥9时，a₃=2a₂．可得{a_n}为等比数列，公比为2．此时a₁≥$\frac{9}{2}$．
综上可得：a₁的取值范围是{a₁|a₁≥$\frac{9}{2}$}．
故答案为：{a₁|a₁≥$\frac{9}{2}$}．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．