Question

设A，B分别是直线y＝x和y＝－x上的动点，且|AB|＝，设O为坐标原点，动点P满足＝＋.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)过点(，0)作两条互相垂直的直线l₁，l₂，直线l₁，l₂与点P的轨迹的相交弦分别为CD，EF，设CD，EF的弦中点分别为M，N，求证：直线MN恒过一个定点．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）见解析

(1)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x，y)，
∵＝＋，∴x＝x₁＋x₂，y＝y₁＋y₂，
∵y₁＝x₁，y₂＝－x₂，?
∴x＝x₁＋x₂＝ (y₁－y₂)，y＝y₁＋y₂＝ (x₁－x₂)．
∵|AB|＝＝，∴x²＋2y²＝2，
∴点P的轨迹方程为＋y²＝1.
(2)证明：设C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)，直线l₁的方程为x－＝ky.
由，得(k²＋4)y²＋2ky－1＝0，
∴y₁＋y₂＝－，x₁＋x₂＝.∴M点坐标为，
同理可得N点坐标为.
∴直线MN的斜率k_MN＝.
∴直线MN的方程为y＋＝.
整理化简得4k⁴y＋(4－5x)k³＋12k²y－16y＋(－20x＋16)k＝0，
∴x＝，y＝0，∴直线MN恒过定点