Question

已知常数，向量，经过定点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于，其中，
（1）求点的轨迹的方程；（2）若，过的直线交曲线于两点，求的取值范围。

Answer 1

（I）；（II）

试题分析：（I）利用向量共线定理和坐标运算即可得出；
（II）对直线的斜率分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=kx+1与双曲线的方程联立，即可得到根与系数的关系，再利用向量的数量积和对k分类讨论即可得出．
试题解析：（1）设点的坐标为，则
，
又，，
，
又因为向量与向量平行，所以
向量与向量平行，所以，两式联立消去得的轨迹方程为，即。
（2）因为，所以的轨迹的方程为，
此时点为双曲线的焦点。
（I）若直线的斜率不存在，其方程为，
与双曲线的两焦点为，
此时
（II）若直线的斜率存在，设其方程为，
由，设交点为
，则，

当时，，；
当或时，，；
综上可知，的取值范围是。