Question

已知抛物线，点，过的直线交抛物线于两点.
（1）若，抛物线的焦点与中点的连线垂直于轴，求直线的方程；
（2）设为小于零的常数，点关于轴的对称点为，求证：直线过定点

Answer 1

（1）；（2）参考解析

试题分析：（1）由题意可得通过假设直线方程联立抛物线方程，消去y可得一个一元二次方程，通过韦达定理写出根与系数的关系.由中点的横坐标等于抛物线的焦点坐标的横坐标可解出直线的斜率k的值.即可求出直线方程.
（2）由直线方程与抛物线的方程联立可得，关于点A,B的坐标关系，从而得到的坐标，写出直线B的方程.由于其中含有A,B的坐标值，通过整理成为的形式即可知道，直线恒过定点.
试题解析：（1）解：由已知，抛物线的焦点坐标为.
设过点的直线的方程为，
由   得.
设，，则.
因为与中点的连线垂直于轴，所以，即.
解得 ，.
所以，直线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为.
由  得，
则，且，即，且.
.
因为关于轴对称，所以，直线，
又 ，，所以，
所以 .
因为 ，又同号，，
所以 ，
所以直线的方程为，
所以，直线恒过定点.