Question

15．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=$\frac{5}{13}$，cosB=$\frac{12}{ac}$，则a+c的值为3$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由a，b，c成等比数列，可得b²=ac，由sinB=$\frac{5}{13}$，cosB=$\frac{12}{ac}$，可解得ac=13，再由余弦定理求得a²+c²=37，从而求得（a+c）²的值，即可得解．

解答 解：∵a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
∵sinB=$\frac{5}{13}$，cosB=$\frac{12}{ac}$，
∴可得$\frac{25}{169}$=1-$\frac{144}{{a}^{2}{c}^{2}}$，解得：ac=13，
∵由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB=ac=a²+c²-ac×$\frac{24}{13}$，解得：a²+c²=37．
∴（a+c）²=a²+c²+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3$\sqrt{7}$．
故答案为：3$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，以及同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于中档题．