Question

11．如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．
（1）求证：AM⊥平面PBC；
（2）求点M到平面PAC的距离．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直与判定的性质定理即可得出：AM⊥BC．由PA=AB，利用等腰三角形的性质可得AM⊥PB，再利用线面垂直的判定定理即可证明．
（2）连接MC，设M到平面PAC的距离为d，利用V_M-PAC=V_C-PAM，即d•S_△PAC=BC•S_△PAM，即可得出．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
∵BC⊥AB，PA∩AB=A，BC⊥平面PAB，
又AM?平面PAB，∴AM⊥BC．
∵PA=AB，M为PB的中点，∴AM⊥PB，
又PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC．
（2）解：连接MC，设M到平面PAC的距离为d，
∵S_△PAM=$\frac{1}{2}$S_△PAB=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2$=1．
S_△PAC=$\frac{1}{2}×2×AC$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
又∵V_M-PAC=V_C-PAM，
∴d•S_△PAC=BC•S_△PAM，
即$\sqrt{5}$d=1，
∴d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、等腰三角形的性质、三棱锥的体积计算公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．