Question

19．已知正实数x，y满足$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{4}{2x+3y}$=1，则x+y的最小值为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 构造与已知条件有关的等式关系．x+y=$\frac{1}{4}[（2x+y）+（2x+3y）]$，利用基本不等式的性质即可解决．

解答 解：∵x＞0，y＞0，∴2x+y＞0，2x+3y＞0，x+y＞0，
   $\frac{1}{2x+y}$+$\frac{4}{2x+3y}$=1，x+y=$\frac{1}{4}[（2x+y）+（2x+3y）]$，
那么：x+y=（x+y）×1=$\frac{1}{4}[（2x+y）+（2x+3y）]$×（$\frac{1}{2x+y}$+$\frac{4}{2x+3y}$）
=$\frac{1}{4}$（1+$\frac{4（2x+y）}{2x+3y}+4+\frac{2x+3y}{2x+y}$）
=$\frac{5}{4}+$$\frac{2x+y}{2x+3y}+\frac{2x+3y}{4（2x+y）}$
∵$\frac{2x+y}{2x+3y}+\frac{2x+3y}{4（2x+y）}$$≥2\sqrt{\frac{1}{4}}$=1，当且仅当2x=y=$\frac{3}{2}$时取等号．
所以：x+y≥$\frac{5}{4}+1=\frac{9}{4}$．
故：x+y的最小值为$\frac{9}{4}$．

点评 本题考查了整体思想的构造和转化．构造出与已知条件的形式．利用基本不等式的性质求解．属于中档题．