Question

16．已知数列{a_n}中，a₁=$\frac{3}{5}$，a_n=2-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}$（n≥2），数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{{a_n}-1}}$．
（1）求证数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}中的最大项与最小项；
（3）设数列{c_n}满足c_n=$\frac{4}{{（{2{b_n}+7}）（{2{b_n}+9}）}}$，求数列{c_n}前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的定义进行证明；
（2）从数列的通项公式上分析最大项和最小项；
（3）将数列{b_n}的通项公式代入得到数列{c_n}通项公式，利用裂项求和．

解答 （1）证明：由题${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}-\frac{1}{{{a_n}-1}}=\frac{1}{{1-\frac{1}{a_n}}}-\frac{1}{{{a_n}-1}}=\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}-1}}=1$
又${b_n}=\frac{1}{{{a_1}-1}}=-\frac{5}{2}$，∴{b_n}是以$-\frac{5}{2}$为首项，1为等差数列．
（2）解：由（1）${b_n}=n-\frac{7}{2}$，∴$\frac{1}{{{a_1}-1}}=n-\frac{7}{2}$，∴${a_n}=\frac{2}{2n-7}+1$，
当n≤3时，$\frac{3}{5}={a_1}＞{a_2}＞{a_3}=-1$；当n≥4时，3=a₄＞a₅＞a₆＞…
∴{a_n}中的最大项为a₄=3，最小项为a₃=-1．
（3）${c_n}=\frac{4}{{2n（{2n+2}）}}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，∴{a_n}前n项和为${T_n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的定义以及裂项求和的方法；属于中档题．