Question

对于数集A={a₁，a₂，…，a_n}．定义：a₁+a₂+…+a_n为集合A的“均值“，则集合{1，2，…，2013}的所有非空子集的“均值“的算术平均值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：集合{1，2，…，2013}的所有非空子集共有2²⁰¹³-1个，其中：含有一个元素的集合有2013个：{1}，{2}，…，{2013}，其均值分别为1，2，…，2013；
含有两个元素的集合有

∁

2 2013

个：{1，2}，{1，3}，…{1，2013}，…，{2012，2013}，其均值分别为1+2，1+3，…1+2013，…，2012+2013；…，
含有2013个元素的集合有1个：{1，2，…，2012，2013}，其均值分别为1+2+…+2012+2013．由上面可得：1，2，…，2013中的每一个数均出现2²⁰¹²次，
即可得出．

解答： 解：集合{1，2，…，2013}的所有非空子集共有2²⁰¹³-1个，
其中：含有一个元素的集合有2013个：{1}，{2}，…，{2013}，其均值分别为1，2，…，2013；
含有两个元素的集合有

∁

2 2013

个：{1，2}，{1，3}，…{1，2013}，…，{2012，2013}，其均值分别为1+2，1+3，…1+2013，…，2012+2013；
…，
含有2012个元素的集合有

∁

2012 2013

个：{1，2，…，2012}，{1，2，3，…，2011，2013}，…{2，3，…，2013}，其均值分别为1+2+…+2012，1+2+…+2011+2013，…，2+3+…+2012+2013．
含有2013个元素的集合有1个：{1，2，…，2012，2013}，其均值分别为1+2+…+2012+2013．
由上面可得：1，2，…，2013中的每一个数均出现2²⁰¹²次，
∴集合{1，2，…，2013}的所有非空子集的“均值“的算术平均值=

22012× 2013(1+2013) 2

22012

=2013×1007=2027091．
故答案为：2027091．

点评：本题考查了集合的性质、新定义“均值”、算术平均值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．