题目内容
椭圆
+
=1（a＞b＞0）过点A（2，1），离心率e=
（1）求椭圆方程；
（2）过直线y=2上的点P作椭圆的两条切线，切点分别为B，C
①求证：直线BC过定点；
②求△OBC面积的最大值；
参考公式：过椭圆
+
=1上点（x0，y0）的切线方程为
+
=1．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（1）求椭圆方程；
（2）过直线y=2上的点P作椭圆的两条切线，切点分别为B，C
①求证：直线BC过定点；
②求△OBC面积的最大值；
参考公式：过椭圆
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x0x |
| a2 |
| y0y |
| b2 |
考点：椭圆的简单性质,直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用椭圆
+
=1（a＞b＞0）过点A（2，1），离心率e=
，建立方程，求出a，b，即可求椭圆方程；
（2）①求出切线PB，PC的方程，代入P，即可得出结论；
②表示出面积，利用配方法，即可求△OBC面积的最大值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
（2）①求出切线PB，PC的方程，代入P，即可得出结论；
②表示出面积，利用配方法，即可求△OBC面积的最大值．
解答：
（1）解：∵椭圆
+
=1（a＞b＞0）过点A（2，1），离心率e=
，
∴
+
=1，
=
，
∴a2=8，b2=2，
∴椭圆方程为
+
=1；
（2）①证明：设P（x0，2），B（x1，y1），C（x2，y2），
则切线PB：
+
=1，PC：
+
=1，
P（x0，2）代入，可得直线BC的方程为
+y=1，
∴直线BC过定点（0，1）；
②
+y=1代入椭圆方程可得（1+
）x2-x0x-4=0，
∴x1+x2=
，x1x2=
，
∴S△OBC=
|x1-x2|=
，
令u=x02+16，则S△OBC=8
≤2，
∴△OBC面积的最大值为2．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 2 |
∴
| 4 |
| a2 |
| 1 |
| b2 |
| c |
| a |
| ||
| 2 |
∴a2=8，b2=2，
∴椭圆方程为
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 2 |
（2）①证明：设P（x0，2），B（x1，y1），C（x2，y2），
则切线PB：
| x1x |
| 8 |
| y1y |
| 2 |
| x2x |
| 8 |
| y2y |
| 2 |
P（x0，2）代入，可得直线BC的方程为
| x0x |
| 8 |
∴直线BC过定点（0，1）；
②
| x0x |
| 8 |
| x02 |
| 16 |
∴x1+x2=
| x0 | ||
1+
|
| -4 | ||
1+
|
∴S△OBC=
| 1 |
| 2 |
8
| ||
| x02+16 |
令u=x02+16，则S△OBC=8
-16(
|
∴△OBC面积的最大值为2．
点评：本题考查椭圆的方程，考查椭圆的性质，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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| A、{2} |
| B、{1，2} |
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| x2 |
| 3 |
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| ||
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①x0＜
；
②x0＞
；
③f（x0）＜x0；
④f（x0）=x0；
⑤f（x0）＞x0．
| lnx |
| 1+x |
①x0＜
| 1 |
| 2 |
②x0＞
| 1 |
| 2 |
③f（x0）＜x0；
④f（x0）=x0；
⑤f（x0）＞x0．
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