Question

9．已知$\overrightarrow{a}$=（x，2x），$\overrightarrow{b}$=（-3x，2），如果$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，则x的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（-$\frac{1}{3}$，0）∪（$\frac{4}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-3x²+4x＜0，且2x≠-6x²，由此解得x的范围．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$=（x，2x），$\overrightarrow{b}$=（-3x，2），
若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角是钝角，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-3x²+4x＜0，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，即x（3x-4）＞0，且2x≠-6x²．
解得x＜0，且x≠-$\frac{1}{3}$，或x＞$\frac{4}{3}$，
故x的范围是（-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（-$\frac{1}{3}$，0）∪（$\frac{4}{3}$，+∞），
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{3}$）∪（-$\frac{1}{3}$，0）∪（$\frac{4}{3}$，+∞）．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，属于中档题和易错题．