Question

20．若函数f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（　　）

• A． [-1，0]
• B． [-1，+∞）
• C． [0，3]
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导函数，由导函数在（$\frac{1}{2}$，+∞）大于等于0恒成立解答案

解答 解：由f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$，得f′（x）=2x+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{{2x}^{3}+{ax}^{2}-1}{{x}^{2}}$，
令g（x）=2x³+ax²-1，
要使函数f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函数，
则g（x）=2x³+ax²-1在x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）大于等于0恒成立，
g′（x）=6x²+2ax=2x（3x+a），
当a=0时，g′（x）≥0，g（x）在R上为增函数，则有g（$\frac{1}{2}$）≥0，解得$\frac{1}{4}$+$\frac{a}{4}$-1≥0，a≥3（舍）；
当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（$\frac{1}{2}$）≥0，解得$\frac{1}{4}$+$\frac{a}{4}$-1≥0，a≥3；
当a＜0时，同理分析可知，满足函数f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{2}$，+∞）是增函数的a的取值范围是a≥3（舍）．
故选：D．

点评 本题考查了二次函数的图象和性质，考查了导函数在求解含有参数问题中的应用，是中档题．