Question

7．已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，过F作倾斜角为60°的直线l．
（1）求直线l的方程；
（2）求直线l被抛物线C所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点，可得直线AB的方程；
（2）由直线与抛物线消去y得3x²-20x+12=0，运用韦达定理和抛物线的定义，即可得到所求值．

解答 解：（1）抛物线y²=8x的焦点F为（2，0），直线的斜率k=$\sqrt{3}$（2分）
代入点斜式方程得：y=$\sqrt{3}$（x-2），即 $\sqrt{3}x-y-2\sqrt{3}$=0 （4分）
（2）设直线与抛物线的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直线与抛物线消去y得3x²-20x+12=0（8分）
所以x₁+x₂=$\frac{20}{3}$，
由抛物线的定义可得，|AB|=x₁+x₂+p=$\frac{32}{3}$，
即直线被抛物线所截得的弦长为$\frac{32}{3}$  （12分）

点评 本题考查抛物线的定义和方程、性质的运用，考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．