Question

5．已知函数f（x）=2^x，且f（a+2）=12，g（x）=2^ax-9^x．
（1）求g（x）的解析式；          
（2）当x∈[-2，1]时，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由f（a+2）=2^a+2=12可求a，然后代入到g（x）=2^ax-9^x，化简即可；
（2）令t=3^x，由x∈[-2，1]，可求t∈[$\frac{1}{9}$，3]，然后结合二次函数的性质可求g（x）的值域．

解答 解：（1）由题意可得，f（a+2）=2^a+2=12，
∴a=log₂3，因此，2^ax=（2^a）^x=3^x，
∵g（x）=2^ax-9^x，
∴g（x）=3^x-9^x； 
（2）令t=3^x，x∈[-2，1]，则t∈[$\frac{1}{9}$，3]，
∴g（x）=h（t）=t-t²=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
结合二次函数的性质可知，h（t）的图象关于t=$\frac{1}{2}$轴对称，
h（t）_max=h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$；
h（t）_min=h（3）=-6，
因此，函数g（x）的值域为：[-6，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题主要考查了函数解析式的求法和函数值域的解法，涉及对数的运算性质，二次函数的图象和性质，体现了数形结合的解题思想，属于中档题．