Question

已知椭圆4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0（k为参数），存在一条直线，使得此直线被这些椭圆截得的线段长都等于

5

，求直线方程

y=2x±2

．

Answer 1

分析：先判断出 椭圆4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0（k为参数）表示中心在直线y=2x上，长轴长和短轴长分别为4，2的一族椭圆，判断出符和条件的直线需要与直线y=2x平行，设出直线方程，先利用一个特殊的椭圆与直线方程联立求出直线的方程，在证明对于所以的椭圆都满足条件．

解答：解：椭圆4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0（k为参数）可化为(x-k)2+

(y-2k)2

4

=1，
所以4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0表示中心在直线y=2x上，长轴长和短轴长分别为4，2的一族椭圆，
而所求的直线与这族椭圆种的任意椭圆都相交，
若所求的直线l与直线y=2x不平行，则必定存在椭圆与直线l不相交，
于是，设所求直线的方程为y=2x+b
因为此直线被这些椭圆截得的线段长都等于

5

，则直线y=2x+b与椭圆x2+

y2

4

=1所得到弦长为

5

，
由

y=2x+b x2+ y2 4 =1

得8x²+4by+b²-4=0
得[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]•5=5
即(-

4b

8

)2-4×

b2-4

8

=1
解得b=±2
设直线y=2x+2与圆4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0（k为参数），相交所得的弦长为d，则由

4x2+y2- 8kx-4ky+8k2-4=0 y=2x+2

得
8x²+（8-16k）x+8k²-8k=0
所以d²=[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]•5=5[（2k-1）²-4（k²-8k）]=5
所以直线y=2x+2与椭圆4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0（k为参数）相交所得的弦长为

5

．
同理可证，对任意k∈R，椭圆4x²+y²-8kx-4ky+8k²-4=0（k为参数）与直线y=2x-2相交所得弦长为

5

．．

点评：解决直线与圆锥曲线的位置关系的问题，应该先将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理，然后找突破口．