Question

已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m
（1）m为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）求直线被椭圆截得的最长弦所在的直线方程，并求弦长的最大值．

Answer 1

分析：（1）将椭圆方程与直线方程联立，消去y得到关于x的方程，由两函数图象有交点，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；
（2）设直线与椭圆的公共点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），表示出|AB|，变形后利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，代入化简，利用二次函数的性质求出|AB|最大值，以及此时m的值，即可确定出此时直线l的方程．

解答：解：（1）联立得：

y=x+m 4x2+y2=1

，
消去y得：5x²+2mx+m²-1=0，
由△=-16m²+20≥0，得-

5

2

≤m≤

5

2

，
则m的范围为[-

5

2

，

5

2

]；
（2）设直线与椭圆的公共点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2

5

5-4m2

，
∵m∈[-

5

2

，

5

2

]，
∴当m=0时，|AB|_max=

2 10

5

，此时直线l：y=x．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由d与r大小来判断，d＞r，直线与圆相离；d=r，直线与圆相切；d＜r，直线与圆相交（r为圆的半径，d为圆心到直线的距离）．