Question

已知椭圆4x²+y²=1及直线y=x+m．
（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得的弦长为

2 10

5

，求直线的方程．

Answer 1

分析：（1）将直线的方程y=x+m与椭圆的方程4x²+y²=1联立，得到5x²+2mx+m²-1=0，利用△=-16m²+20≥0即可求得m的取值范围；
（2）利用两点间的距离公式，再借助于韦达定理即可得到：两交点AB之间的距离∴|AB|=

(x2-x1) 2+(y2-y1) 2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(- 2m 5 )2-4 m2-1 5 ]

=

2 10

5

，从而可求得m的值．

解答：解：（1）把直线y=x+m代入椭圆方程得：4x²+（x+m）²=1
即：5x²+2mx+m²-1=0，
△=（2m）²-4×5×（m²-1）=-16m²+20≥0
解得：-

5

2

≤m≤

5

2

．
（2）设该直线与椭圆相交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程5x²+2mx+m²-1=0的两根，由韦达定理可得：x1+x2=-

2m

5

，x1•x2=

m2-1

5

，
∴|AB|=

(x2-x1) 2+(y2-y1) 2

=

(x2-x1)2[1+( y2-y1 x2-x1 ) 2]

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[(- 2m 5 )2-4 m2-1 5 ]

=

2 10

5

；
∴m=0．
∴直线的方程为y=x．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题，难点在于弦长公式的灵活应用，属于中档题．