Question

已知椭圆4x²+y²=1及直线l：y=x+m．
（Ⅰ）当m为何值时，直线l与椭圆有公共点？
（Ⅱ）若直线l被椭圆截得的线段长为

4 2

5

，求直线的方程．
（Ⅲ）若直线l与椭圆相交于A、B两点，是否存在m的值，使得

OA

•

OB

=0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）联立直线方程与椭圆方程，根据对应方程的判别式大于等于0即可求出m的取值范围；
（Ⅱ）联立直线方程与椭圆方程，求出两交点坐标和直线的斜率之间的关系；再结合弦长公式即可求出直线的方程．
（Ⅲ）先联立直线方程与椭圆方程，求出A、B两点坐标和直线的斜率之间的关系；结合

OA

•

OB

=0的对应结论即可求出m的值．

解答：解：（Ⅰ）把直线y=x+m代入4x²+y²=1得
5x²+2mx+m²-1=0     ①…（1分）
∴△=4m²-20（m²-1）=-16m²+20≥0
-

5

2

≤m≤

5

2

…（2分）
（Ⅱ）设直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
由①得

x1+x2=- 2m 5 x1x2= m2-1 5

，…（3分）
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=(-

2m

5

)2-

4(m2-1)

5

=

-16m2+20

25

…（4分）
∴|AB|=

(1+k)2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2× -16m2+20 25

=

4 2

5

…（5分）
解得m=±

1

2

…（6分）
∴所求直线方程为y=x±

1

2

．                                   …（7分）
（Ⅲ）设直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，
由①得

x1+x2=- 2m 5 x1x2= m2-1 5

若存在m的值，使得

OA

•

OB

=0，则有x₁x₂+y₁y₂=0…（8分）y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2=

4m2-1

5

…（9分）
∴

m2-1

5

+

4m2-1

5

=0，解得                                     …（10分）
又由（1）直线和椭圆有公共点，需满足-

5

2

≤m≤

5

2

…（11分）
∵

10

5

＜

5

2

∴存在m=±

10

5

满足题意                                       …（12分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系．解决问题的关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理，弦长公式进行求解．