Question

1．已知定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，若函数f（x）与函数g（x）=log_a（|x|+2）在（0，+∞）上至少有三个交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （0，$\frac{1}{2}$）
• C． （0，$\frac{\sqrt{5}}{5}$）
• D． （0，$\frac{\sqrt{6}}{6}$）

Answer 1

分析 根据定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），可以令x=-1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，画出图形，根据函数f（x）与函数g（x）=log_a（|x|+2）在（0，+∞）上至少有三个交点，利用数形结合的方法进行求解；

解答 解：因为 f（x+2）=f（x）-f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，
令x=-1 所以 f（-1+2）=f（-1）-f（1），f（-1）=f（1），
即 f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x），
f（x）是周期为2的偶函数，
当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18=-2（x-3）²，
图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线，
∵函数f（x）与函数g（x）=log_a（|x|+2）在（0，+∞）上至少有三个交点，
∵f（x）≤0，
∴g（x）≤0，可得a＜1，
要使函数f（x）与函数g（x）=log_a（|x|+2）在（0，+∞）上至少有三个交点，
如图要求g（2）＞f（2），可得：

就必须有 log_a（2+2）＞f（2）=-2，
∴可得log_a4＞-2，∴解得-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{1}{2}$又a＞0，
∴0＜a＜$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 此题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，此题是一道中档题．