Question

16．已知函数$f（x）=\frac{x}{{|{lnx}|}}$，若关于x的方程f²（x）-（m+1）f（x）+m=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （0，e）
• B． （1，e）
• C． （e，2e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 判断f（x）的单调性，作出f（x）的函数图象，根据方程可得f（x）=1或f（x）=m，根据图象可知f（x）=m有三解，从而得出m的范围．

解答 解：当x＞1时，f（x）=$\frac{x}{lnx}$，f′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
∴f（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
∴当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=e，
同理可得f（x）在（0，1）上单调递增，
作出f（x）的函数图象如图所示：

由f²（x）-（m+1）f（x）+m=0得f（x）=1或f（x）=m，
由图象可知f（x）=1只有1解，
∴f（x）=m有三个解，∴m＞e．
故选：D．

点评 本题考查了方程的解与函数图象的关系，函数单调性的判断与极值计算，属于中档题．