Question

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1交于A、B两点.

(1)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值；

(2)是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线y=１2x对称?若存在，请求出a的值;若不存在，请说明理由.

Answer 1

解:(1)由y=ax+1, 3x²-y²=1消去y,得?

(3-a²)x²-2ax-2=0  ①

依题意

即-且a.②

设A(x₁，y₁），B（x₂，y₂）,

则

∵以AB为直径的圆过原点，?

∴OA⊥OB.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

但y₁y₂=a²x₁x₂+a(x₁+x₂)+1

由③④,x1+x2=

∴(a²+1)··+1=0.

解得a=±１且满足②.

(2)假设存在实数a，使A、B关于y=x对称，则直线y=a

x+1与y=12x垂直，

∴a·=-1,即a=-2.

直线l的方程为y=-2x+1

将a=-2代入③得x₁+x₂=4.?

∴AB中点横坐标为2，

纵坐标为y=-22+1=-3

但AB中点(2,-3）不在直线y=12x上,

即不存在实数a,使A、B关于直线y=12x对称.