Question

设s，t为正整数，两直线l1：

t

2s

x+y-t=0与l2：

t

2s

x-y=0的交点是（x₁，y₁），对于正整数n（n≥2），过点（0，t）和（x_n-1，0）的直线与直线l₂的交点记为（x_n，y_n）．
（1）求数列{x_n}通项公式；
（2）求数列{x_nx_n+1}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）根据两直线l1：

t

2s

x+y-t=0与l2：

t

2s

x-y=0的交点是（x₁，y₁），对于正整数n（n≥2），过点（0，t）和（x_n-1，0）的直线与直线l₂的交点记为（x_n，y_n），可得x1=s，xn=

2sxn-1

2s+xn-1

，取倒数，即可得到{

1

xn

}为等差数列，且首项为

1

s

，公差为

1

2s

，从而可求数列{x_n}通项公式；
（2）根据数列{x_nx_n+1}通项的特点，裂项求和，即可得到结论．

解答：解：（1）依题意，∵两直线l1：

t

2s

x+y-t=0与l2：

t

2s

x-y=0的交点是（x₁，y₁），对于正整数n（n≥2），过点（0，t）和（x_n-1，0）的直线与直线l₂的交点记为（x_n，y_n），
∴x1=s，xn=

2sxn-1

2s+xn-1

∴

1

xn

=

1

xn-1

+

1

2s

(n≥2)
∴{

1

xn

}为等差数列，且首项为

1

s

，公差为

1

2s

∴

1

xn

=

1

s

+(n-1)•

1

2s

∴xn=

2s

n+1

（2）xnxn+1=

4s2

(n+1)(n+2)

=4s2(

1

n+1

-

1

n+2

)
∴Sn=4s2[(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n+1

-

1

n+2

)]=4s2(

1

2

-

1

n+2

)=

2ns2

n+2

点评：本题考查直线的交点、数列通项的求法，考查数列的求和，综合性较强，确定数列的通项是关键．