Question

14．已知实数x，y满足方程（x-3）²+（y-3）²=6，求
（I）$\frac{y}{x}$的最大值与最小值；
（Ⅱ）$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （I）设k=$\frac{y}{x}$，表示圆上点P（x，y）与原点连线的斜率，直线OP的方程为y=kx，当直线OP与圆C相切时，斜率取得最值，即可求出$\frac{y}{x}$的最大值与最小值；
（Ⅱ）代数式$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$表示圆C上点到顶点（2，0）的距离，由此求出$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$的最大值与最小值．

解答 解：（I）设k=$\frac{y}{x}$，表示圆上点P（x，y）与原点连线的斜率，直线OP的方程为y=kx，
当直线OP与圆C相切时，斜率取得最值，点C到直线y=kx的距离d=$\frac{|3k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{6}$，
即k=3$±2\sqrt{2}$时，直线OP与圆C相切，所以（$\frac{y}{x}$）_max=3+2$\sqrt{2}$，（$\frac{y}{x}$）_min=3-2$\sqrt{2}$．…（6分）
（Ⅱ）代数式$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$表示圆C上点到顶点（2，0）的距离，圆心（3，3）与定点（2，0）的距离为$\sqrt{（3-2）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
又圆C的半径是$\sqrt{6}$，所以（$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$）_max=$\sqrt{10}$+$\sqrt{6}$，（$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$）_min=$\sqrt{10}$-$\sqrt{6}$．…（13分）

点评 本题考查代数式的最值，考查直线与圆的位置关系，正确转化是关键．