题目内容

（满分14分）设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E．

   （1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状；

   （2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且（O为坐标原点）,并求出该圆的方程；

   （3）已知,设直线与圆C:（1<R<2）相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值．

（1）略   （2）      （3）


解析:

（1）因为,,,所以,即．当m=0时,方程表示两直线,方程为；[来源:Z]当时, 方程表示的是圆；当且时,方程表示的是椭圆；当时,方程表示的是双曲线．

   （2）当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=,

即,即,     且

,

要使,   需使,即,

所以,  即且,  即恒成立．

所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,, 所求的圆为．

当切线的斜率不存在时,切线为,与

交于点或也满足．

综上, 存在圆心在原点的圆，

使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．

   （3）当时,轨迹E的方程为,

设直线的方程为,因为直线与圆C:（1<R<2）相切于A1,

由（2）知,  即    ①,

因为与轨迹E只有一个公共点B1,由（2）知得,[来源:学科网]

即有唯一解，

则△=,   

即,     ②

由①②得,   此时A,B重合为B1（x1,y1）点,    

由 中,所以,,

B1（x1,y1）点在椭圆上,所以,所以,

在直角三角形OA1B1中,

因为当且仅当时取等号,所以,

即当时|A1B1|取得最大值,最大值为1．

练习册系列答案
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（本小题满分14分）设函数在，处取得极值，且．

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(Ⅰ)求的最小值;

(II)若曲线在点处的切线方程为,求的值.

 

（本小题满分14分）

设函数在，处取得极值，且．

（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；

（Ⅱ）若，求的取值范围．

 

（本小题满分14分）

设函数在及时取得极值．

(1)求a、b的值；

(2)若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．

 

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