题目内容

已知： $数学公式$ 、 $数学公式$ 、 $数学公式$ 是同一平面内的三个向量，其中 $数学公式$ =（1，2）
（1）若| $数学公式$ |= $数学公式$ ，且 $数学公式$ ，求 $数学公式$ 的坐标；
（2）若 $数学公式$ ，且 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =（1，2）， $\text{[math]}$ ，故可设 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ =（λ，2λ），由| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，可得 λ²+4λ²=20，
解得 λ=±2，
∴ $\text{[math]}$ =（2，4）或（-2，-4）．
（2）∵ $\text{[math]}$ =（1，2）， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =（λ+1，λ+2），
∵ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为锐角，
∴ $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ）＞0，
∴λ+1+2λ+4＞0，λ＞ $\text{[math]}$ ．
而当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线且方向相同时，（λ+1，λ+2）=k（1，2），k＞0，
解得 λ=0，
故λ的取值范围为（ $\text{[math]}$ ，0）∪（0，+∞）．
分析：（1）设 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ =（λ，2λ），由| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ ，可得 λ²+4λ²=20，解方程求得λ 值．
（2）求出 $\text{[math]}$ =（λ+1，λ+2），由 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为锐角可得 $\text{[math]}$ •（ $\text{[math]}$ ）＞0，解得λ的范围，
而当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线且方向相同时，求出对应的λ的值，从而得到λ的取值范围．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，两个向量夹角公式的应用，属于中档题．