Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-mx-x+

1

3

m．（m∈R）．
（Ⅰ）若m=1，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]时，恒有|f′（x₁）-f′（x₂）|≤4，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数与函数的切线斜率的关系即可求得切线方程；
（Ⅱ）转化为求函数的最值问题解决即可得出结论．

解答： 解：（I）m=1，f'（1）=x²-2x-1|_x=1=-2，f(1)=-

4

3

----------------（3分）
∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y+

4

3

=-2(x-1)，
即6x+3y-2=0-----------------------（6分）
（II）对任意x₁，x₂∈[-1，1]时，恒有|f'（x₁）-f'（x₂）|≤4-----------------------------（8分）
由g（x）=f'（x）=x²-2mx-1，
则（1）当m＜-1时，|g（x₁）-g（x₂）|≤|g（1）-g（-1）|=4|m|≤4，解得|m|≤1（舍去）；----------------（12分）
（2）当-1≤m≤0时，|g(x1)-g(x2)|≤|g(1)-g(m)|=(m-1)2≤4，解得-1≤m≤0；          
（3）当0＜m≤1时，|g(x1)-g(x2)|≤|g(-1)-g(m)|=(m+1)2≤4解得0＜m≤1-------------（13分）
（4）当m＞1时，|g（x₁）-g（x₂）|≤|g（1）-g（-1）|=4|m|≤4解得|m|≤1（舍去）-------------（14分）
综上所述，m的取值范围为[-1，1]．--------------------（15分）

点评：本题主要考查利用导数求切线方程及函数的最值问题等知识，考查学生的划归转化思想及分类讨论思想的运用能力、计算能力，属难题．