题目内容

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=2处取得极值4，且其导函数y=f′（x）的图象经过坐标原点．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若x∈[-3，3]，求y=f（x）的值域．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算
专题：导数的综合应用
分析：（1）f′（x）=3ax2+2bx+c，由已知条件得
f′(2)=12a+4b+c=0
f(2)=8a+4b+2c=4
c=0
，由此能求出f（x）=-x3+3x2．
（2）f′（x）=-3x2+6x，令f′（x）=0，得x=0，或x=2，由此能求出y=f（x）的值域．
解答： 解：（1）∵f（x）=ax3+bx2+cx，
∴f′（x）=3ax2+2bx+c，
∵在x=2处取得极值4，且其导函数y=f′（x）的图象经过坐标原点，
∴
f′(2)=12a+4b+c=0
f(2)=8a+4b+2c=4
c=0
，解得a=-1，b=3，c=0．
∴f（x）=-x3+3x2．（7分）
（2）∵f′（x）=-3x2+6x，
∴令f′（x）=0，得x=0，或x=2，
∵f（-3）=27+27=54，
f（0）=0，
f（2）=-8+12=4，
f（3）=-27+27=0，
∴y=f（x）的值域为[0，54]．（14分
点评：本题考查函数的值域的求法，考查函数的解析式的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
练习册系列答案
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两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙加工了60个，其中有50个合格，令A事件为”从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，B事件为”从100个产品中任意取一个，取到甲生产的产品”，则P（A|B）等于（　　）
A、
2
5
B、
35
100
C、
7
8
D、
5
7
已知函数f（x）=
1
3
x3-mx-x+
1
3
m．（m∈R）．
（Ⅰ）若m=1，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意x1，x2∈[-1，1]时，恒有|f′（x1）-f′（x2）|≤4，求实数m的取值范围．
已知函数f（x）=|4x+k2x+1|．
（Ⅰ）当k=-4时，求函数f（x）在x∈[0，2]上的值域；
（Ⅱ）设（4x+2x+1）g（x）=f（x），若存在x1，x2，x3∈R，使得以g（x1），g（x2），g（x3）为三边长的三角形不存在，求实数k的取值范围．
已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）的区间[2t，t+1]上单调，求实数t的取值范围；
（3）记g（x）=f（x）+4（1-m）x，对于任意的实数x1，x2∈[-1，1]，恒有|g（x1）-g（x2）|≤8成立，求实数m的取值范围．
己知集合A={x||x-1|＜1}，B={x|
2
x-1
≥1}，C={x|lg2ax＜lg（a+x）（a＞0）}，若“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要条件，求a的取值范围．
已知tan2θ=
3
4
（
π
2
＜θ＜π），则
2cos2
θ
2
+sinθ-1
2
cos(θ+
π
4
)
的值为
 
．
f（x）=log2（x2-5x+6）的单调增区间为
 
．
已知函数f（x）=2|x|-sin（
5π
2
+x），对于任意的x1，x2∈[-π，π]，有如下条件：
①x12＞x22；   ②x1＞x2；  ③|x1|＞x2；   ④x1＞|x2|．
其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件序号是
 
．

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