Question

16．已知θ为△ABC的最小内角，O为坐标原点，向量$\overrightarrow{OM}$=（1，sinθ），向量$\overrightarrow{ON}$=（cosθ，1），则△OMN的面积（　　）

• A． 有最大值$\frac{1}{2}$
• B． 有最小值$\frac{1}{2}$
• C． 有最大值$\frac{1}{4}$
• D． 有最小值$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根据题意在平面直角坐标系中，画出单位圆O，并设单位圆交x轴Q，交y轴P，然后分别过P，Q作x轴，y轴的平行线交于D点，可知点M在线段DQ上，点N在线段DP上，从而可表示出△OMN的面积为$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}sin2θ$，从而可判断出△OMN有最小值，并可得出该最小值．

解答 解：如图单位圆O与x轴交于P，与y轴交于Q，过M，N作y轴和x轴的平行线交于D，则：

S_△OMN=S_{正方形OPDQ}-S_△OPN-S_△OMQ-S_△DMN
=$1-\frac{1}{2}cosθ-\frac{1}{2}sinθ-\frac{1}{2}（1-cosθ）（1-sinθ）$
=$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}sinθcosθ$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}sin2θ$；
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$；
∴2θ∈（0，π）；
∴$2θ=\frac{π}{2}$时，△OMN的面积取最小值$\frac{1}{4}$．
故选：D．

点评 考查利用单位圆解决问题的方法，数形结合解题的方法，二倍角的正弦公式，以及三角形的面积公式，正弦函数的最值．