题目内容

6．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式：
（1）$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}）$
（2）$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．

分析 （1）取BD中点O，连结BG、OG、MG，利用数形结合思想和空间向量加法法则能化简$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}）$．
（2）取AB中点E，AC中点F，连结AM、EM、FM、MD，利用数形结合思想和空间向量加法法则能化简$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$．

解答 解：（1）取BD中点O，连结BG、OG、MG，
∵空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，
∴$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BC}）$
=$\overrightarrow{AB}$+（$\overrightarrow{BO}$+$\overrightarrow{BM}$）
=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BG}$
=$\overrightarrow{AG}$．
（2）取AB中点E，AC中点F，连结AM、EM、FM、MD，
则$\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$
=$\overrightarrow{AD}$=（$\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}$）
=$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AM}$
=$\overrightarrow{MD}$．

点评 本题考查向量的化简，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想和空间向量加法法则的合理运用．

练习册系列答案
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空气污染指数
（单位：μg/m3）		（0，50]（50，100]（100，150]（150，200]
监测点个数1540y10
（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取5个监测点，从中任意选取2个监测点，事件A“两个都为良”发生的概率是多少？
17．某三棱柱的三视图如图所示，在该三棱锥外接球的表面积是（　　）
A．3πB．4πC．5πD．6π
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（1）求a+b能被3整除的概率；
（2）若|a-b|≤1则中奖，求中奖的概率．
1．已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，而终边经过点P（1，2）．
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（2）求$\frac{\sqrt{2}sinα-2cosα}{5cosα+3sinα}$的值．
11．已知数列{an}满足a1=2，a2=6，且对?n∈N+，都有an+2=2an+1-an+2．
（Ⅰ）设bn=an+1-an，证明数列{bn}为等差数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）求数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$•3n}的前n项和Tn．
18．设集合A={0，1，2，3，4}，B=$\left\{{\left.{x∈R|\frac{x-4}{x-1}≤0}\right\}}\right.$，则A∩B=（　　）
A．{1，2，3，4}B．{2，3，4}C．{3，4}D．{x|1＜x≤4}
15．曲线C是平面内到直线l1：x=-1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．给出下列四个结论：
①曲线C过点（-1，1）；
②曲线C关于点（-1，1）对称；
③若点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；
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其中，所有正确结论的序号是②③．
16．已知θ为△ABC的最小内角，O为坐标原点，向量$\overrightarrow{OM}$=（1，sinθ），向量$\overrightarrow{ON}$=（cosθ，1），则△OMN的面积（　　）
A．有最大值$\frac{1}{2}$B．有最小值$\frac{1}{2}$C．有最大值$\frac{1}{4}$D．有最小值$\frac{1}{4}$

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