Question

15．已知函数f（x）+2=$\frac{2}{f（\sqrt{x+1}）}$，当x∈（0，1]时，f（x）=x²，若在区间（-1，1]内，g（x）=f（x）-t（x+2）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{3}$]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]
• D． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 若g（x）=f（x）-t（x+2）有两个不同的零点，则函数f（x）的图象与y=t（x+2）的图象有两个交点，画出函数的图象，数形结合可得答案．

解答 解：由题意得：
当x=0时，f（0）+2=$\frac{2}{f（1）}$=2，所以f（0）=0，
当x∈（-1，0]，即$\sqrt{x+1}$∈（0，1]时，
f（$\sqrt{x+1}$）=（$\sqrt{x+1}$）²=x+1，
所以f（x）+2=$\frac{2}{f（\sqrt{x+1}）}$=$\frac{2}{x+1}$，
所以f（x）=$\frac{2}{x+1}$-2，
故函数f（x）的图象如下图所示：

若g（x）=f（x）-t（x+2）有两个不同的零点，
则函数f（x）的图象与y=t（x+2）的图象有两个交点，
故t∈（0，$\frac{1}{3}$]，
故选：A

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的图象，函数零点与方程根的关系，数形结合思想，难度中档．