Question

6．如果圆C：（x-a）²+（y-a）²=200上总存在两个点到原点的距离为5$\sqrt{2}$，则圆心C到直线3x+4y=0距离d的取值范围是（7，21）．

Answer 1

分析 由已知得圆上点到原点距离d=5$\sqrt{2}$，从而|d-r|＜$\sqrt{2}$|a|且d+r＞$\sqrt{2}$|a|，由此能求出实数a的取值范围，即可求出圆心C到直线3x+4y=0距离d的取值范围．

解答 解：圆心（a，a）到原点的距离为$\sqrt{2}$|a|，半径r=10$\sqrt{2}$，
圆上点到原点距离为d，
∵圆（x-a）²+（y-a）²=200上总存在两个点到原点的距离为5$\sqrt{2}$，
∴d=5$\sqrt{2}$，
∴|d-r|＜$\sqrt{2}$|a|且d+r＞$\sqrt{2}$|a|
∴|$\frac{d-r}{\sqrt{2}}$|＜|a|＜$\frac{d+r}{\sqrt{2}}$，即5＜|a|＜15，
∴圆心C到直线3x+4y=0距离d=$\frac{|7a|}{\sqrt{9+16}}$∈（7，21）．
故答案为：（7，21）．

点评 本题考查了实数的取值范围与应用问题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．