题目内容

20．在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=8（如图）．如果点E在对角线AC上，且DE=4．
（1）求AE的长；
（2）设$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{c}$，试用向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$表示下列向量：$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AE}$．

分析 （1）利用勾股定理计算；
（2）根据平面向量的线性运算的几何意义得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=$\frac{1}{2}$AC=4，AD=AB=5，
∴OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=3，OE=$\sqrt{D{E}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴AE=OA-OE=4-$\sqrt{7}$或AE=OA+OE=4+$\sqrt{7}$．
（2）∵$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}$=-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$．
∵$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$．
∴$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}$=-$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$．

点评 本题考查了勾股定理，平面向量线性运算的几何意义，属于基础题．

练习册系列答案
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10．（文科）如图所示的封闭曲线C由曲线C1：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，y≥0）和曲线C2：x2+y2=r2（y＜0）组成，已知曲线C1过点（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，点A、B分别为曲线C与x轴、y轴的一个交点．
（Ⅰ）求曲线C1和C2的方程；
（Ⅱ）若点Q是曲线C2上的任意点，求△QAB面积的最大值；
（Ⅲ）若点F为曲线C1的右焦点，直线l：y=kx+m与曲线C1相切于点M，与x轴交于点N，直线OM与直线x=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$交于点P，求证：MF∥PN．
11．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$经过点$（{1，\frac{3}{2}}）$，离心率为$\frac{1}{2}$，设A、B椭圆C上异于左顶点P的两个不同点，直线PA和PB的倾斜角分别为α和β，且α+β为定值θ（0＜θ＜π）
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标．
8．若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{6^x}-m，\begin{array}{l}{x＜1}\end{array}\\{x^2}-3mx+2{m^2}，x≥1\end{array}$恰有2个零点，则实数m的取值范围是[$\frac{1}{2}$，1）∪[6，+∞）．
15．已知函数f（x）+2=$\frac{2}{f（\sqrt{x+1}）}$，当x∈（0，1]时，f（x）=x2，若在区间（-1，1]内，g（x）=f（x）-t（x+2）有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（　　）
A．（0，$\frac{1}{3}$]B．（0，$\frac{1}{2}$]C．[-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]D．[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
5．设函数f（x）的定义域为R，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x，0≤x≤1}\\{（\frac{1}{2}）^{x}-1，-1≤x＜0}\end{array}\right.$，且对任意的x∈R都有f（x+1）=f（x-1），若在区间[-1，3]上函数g（x）=f（x）-mx-m恰有三个不同零点，则实数m的取值范围是（　　）
A．（0，$\frac{1}{4}$]B．（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）C．（0，$\frac{1}{2}$]D．[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]
12．函数f（x）=cos（x-$\frac{π}{2}$）-log5x的零点个数是1．
9．定义：区间[x1，x2]（x1＜x2）的长度为x2-x1，若函数y=|log2$\frac{x}{2}$|的定义域为[m，n]，值域为[0，2]，则区间[m，n]长度的最小值为$\frac{3}{2}$．
11．若圆C：（x-$\frac{5}{2}$）2+（y-2）2=$\frac{25}{4}$上有4个点到直线x-y+a=0的距离为$\frac{1}{2}$，则实数a的取值范围为（　　）
A．（-2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$）B．[-2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$]C．（-$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$）D．[-$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$]

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