Question

10．已知正三棱锥S-ABC中，SA=x，AB=1，SA与BC的距离为d，则$\underset{lim}{x→1}$d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 x=1时，正三棱锥S-ABC变成正四面体．如图所示，取BC的中点D，SA的中点E，连接SD，AD，DE．利用等边三角形的性质可得：SD=AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又SE=EA=$\frac{1}{2}$，可得DE⊥SA，DE⊥BC．因此DE为SA与BC的距离d，利用勾股定理即可得出．

解答 解：x=1时，正三棱锥S-ABC变成正四面体．如图所示，
取BC的中点D，SA的中点E，连接SD，AD，DE．
∵△ABC与△SBC是边长为1的等边三角形，
∴SD=AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又SE=EA=$\frac{1}{2}$，
∴DE⊥SA，同理可得DE⊥BC．
∴DE为SA与BC的距离d，
d=DE=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\underset{lim}{x→1}$d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了正四面体的性质、等边三角形与等腰三角形的性质、异面直线之间的距离、勾股定理、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．