Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且两坐标系有相同的长度单位.已知点的极坐标为， 是曲线： 上任意一点，点满足，设点的轨迹为曲线.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）若过点的直线的参数方程（为参数），且直线与曲线交于， 两点，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）先化点的直角坐标为，再由曲线： 得其半径为1，最后确定轨迹为圆，圆心为，半径为1，方程为．（2）直线参数方程中参数具有几何意义，即，因此将直线参数方程代入圆方程化简得，结合韦达定理代入得

试题解析：（1）点的直角坐标为，曲线： ，即，即，

曲线表示以为圆心， 为半径的圆，方程为．

（2）将代入方程，得，

即，设、两点对应的参数分别为、，

则，易知， ，

∴．