题目内容
【题目】已知函数,曲线在点处的切线与直线垂直(其中为自然对数的底数).
(Ⅰ)求的解析式及单调递减区间;
(Ⅱ)若函数无零点,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)单调减区间为和;(Ⅱ) 的取值范围为: 或.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)利用切线求出参数值为2,解不等式可得减区间;
(Ⅱ)函数无零点,即方程在内无解,亦即要在内无解.为此构造函数,利用导数研究的单调性,可得结论,注意对分类讨论
试题解析:
(Ⅰ)解:,
又由题意有:,故.
此时,,由或,
所以函数的单调减区间为和.
(Ⅱ)解:
,且定义域为,
要函数无零点,即要在内无解,
亦即要在内无解.
构造函数.
①当时,在内恒成立,所以函数在内单调递减,在内也单调递减.又,所以在内无零点,
在内也无零点,故满足条件;
②当时,
⑴若,则函数在内单调递减,在内也单调递减,在内单调递增.又,所以在内无零点;易知,而,故在内有一个零点,所以不满足条件;
⑵若,则函数在内单调递减,在内单调递增.又,所以时,恒成立,故无零点,满足条件;
⑶若,则函数在内单调递减,在内单调递增,在内也单调递增.又,所以在及内均无零点.
又易知,而,又易证当时,,所以函数在内有一零点,故不满足条件.
综上可得:的取值范围为:或.
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