Question

【题目】如图，在正四棱柱中， 为底面的对角线， 为的中点.

(1)求证： ；

(2)求证： 平面.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）连接,由正四棱柱的结构特征,用正方形对角线互相垂直的性质,结合线面垂直的判定定理我们可以证明出平面,进而根据线面垂直的性质得到；（2），连接，由三角形中位线定理，我们可得，再由线面平行的判定定理，即可得到平面.

试题解析：⑴，在正四棱柱 ，

平面，四边形是正方形 ，

平面， 平面，

， 四边形 是正方形 ，

， ，

平面， 平面， ，

⑵设，连结，

四边形是正方形 ，

， 是的中点， 是的中位线，

， 平面平面，

平面.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定与性质，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（2）是就是利用方法①证明的.