Question

已知集合A={（x，y）|ax+y=1}，B={（x，y）|x+ay=1}，C={（x，y）|x²+y²=1}．
（1）当a为何值时，（A∩C）∪（B∩C）为含有两个元素的集合．
（2）当a为何值时，（A∪B）∩C为含有三个元素的集合．

Answer 1

考点：交、并、补集的混合运算

专题：集合

分析：（1）分别联立方程求出解集，即求出A∩C、B∩C，再根据条件列出方程，求实数a即可；
（2）（A∪B）∩C为含三个元素的集合，a≠0，a≠1．直线ax+y=1和x+ay=1与圆x²+y²=1必须交于三个点，即两直线有一个交点在圆x²+y²=1上，且两直线与圆还各有一个交点，利用对称性求出实数a即可．

解答： 解：（1）由

ax+y=1 x2+y2=1

得，

x=0 y=1

或

x= 2a 1+a2 y= 1-a 1+a2

，
则A∩C={（0，1），（

2a

1+a2

，

1-a

1+a2

）}
由

x+ay=1 x2+y2=1

得，

x=1 y=0

或

y= 2a 1+a2 x= 1-a 1+a2

，
则B∩C={（1，0），（

1-a

1+a2

，

2a

1+a2

）}
∵（A∩C）∪（B∩C）为含有两个元素的集合，
∴

1-a 1+a2 =0 2a 1+a2 =1

或

1-a 1+a2 =1 2a 1+a2 =0

，解得a=1或a=0，
故a的值为：a=1或a=0；
（2）（A∪B）∩C含三个元素，显然a≠0，a≠1，如右图所示：
直线ax+y=1和x+ay=1与圆x²+y²=1必须交于三个点，即两直线有一个交点在圆x²+y²=1上，且两直线与圆还各有一个交点
∵直线ax+y=1和x+ay=1关于直线y=x对称
∴三个交点为（0，1），（1，0），(

2

2

，

2

2

)或（0，1），（1，0），(-

2

2

，-

2

2

)，
如图（3）（4）所示
此时a=-1±

2

．

点评：本题考查并集、交集的转换，考查数形结合，分类讨论的思想，转化思想的应用，作出图形，是解好本题的前提，是中档题．