Question

10．设点O为四面体ABCD外接球的球心，若|$\overrightarrow{AB}$|=3，|$\overrightarrow{AD}$|=4，则$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BD}$=$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 利用平面向量加减运算的几何意义得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$，将两式平方相减即可得出答案．

解答 解：设外接球半径为r，则OA=OB=OD=r，
∵|$\overrightarrow{AB}$|²=（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$）²=${\overrightarrow{OB}}^{2}+{\overrightarrow{OA}}^{2}-2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=2r²-2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=9，
|$\overrightarrow{AD}$|²=（$\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}$）²=${\overrightarrow{OD}}^{2}+{\overrightarrow{OA}}^{2}-2\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OA}$=2r²-2$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OA}$=16．
∴|$\overrightarrow{AD}$|²-|$\overrightarrow{AB}$|²=2$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$-2$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{OA}$=7，
∴2（$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD}$）$•\overrightarrow{OA}$=7，即$\overrightarrow{DB}•\overrightarrow{OA}=\frac{7}{2}$．
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{BD}=\frac{7}{2}$．
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量级运算，属于中档题．