Question

19．数列{a_n}的前项和为S_n，且${a_1}=\frac{2}{3}，{a_{n+1}}-{S_n}=\frac{2}{3}$，用[x]表示不超过x的最大整数，如[-0.1]=-1，[1.6]=1，设b_n=[a_n]，则数列{b_n}的前2n项和b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_2n-1+b_2n=$\frac{{2}^{2n+1}}{3}$-n-$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 运用数列的递推关系，n≥2时将n换为n-1，相减可得数列{a_n}的通项公式，再由取整函数的定义，运用不完全归纳法，即可得到所求和．

解答 解：由${a_1}=\frac{2}{3}，{a_{n+1}}-{S_n}=\frac{2}{3}$，①
可得a₂-S₁=$\frac{2}{3}$，a₂=a₁+$\frac{2}{3}$=$\frac{4}{3}$，
将n换为n-1，可得a_n-S_n-1=$\frac{2}{3}$，n≥2②
由a_n=S_n-S_n-1，
①-②可得，a_n+1=2a_n，
则a_n=a₂2^n-2=$\frac{4}{3}$•2^n-2=$\frac{1}{3}$•2ⁿ，
上式对n=1也成立．
则a_n=$\frac{1}{3}$•2ⁿ，
b_n=[a_n]=[$\frac{1}{3}$•2ⁿ]，
当n=1时，b₁+b₂=0+1=1=$\frac{{2}^{3}}{3}$-1-$\frac{2}{3}$；
当n=2时，b₁+b₂+b₃+b₄=0+1+2+5=8=$\frac{{2}^{5}}{3}$-2-$\frac{2}{3}$；
当n=3时，b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆=0+1+2+5+10+21=39=$\frac{{2}^{7}}{3}$-3-$\frac{2}{3}$；
当n=4时，b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+b₆+b₇+b₈=0+1+2+5+10+21+42+85=166=$\frac{{2}^{9}}{3}$-4-$\frac{2}{3}$；
…
则数列{b_n}的前2n项和为b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_2n-1+b_2n
=$\frac{{2}^{2n+1}}{3}$-n-$\frac{2}{3}$．
另解：设T_2n=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_2n-1+b_2n，
由T_2n-T_2n-2=2^2n-1-1，
累加可得数列{b_n}的前2n项和为$\frac{2（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n=$\frac{{2}^{2n+1}}{3}$-n-$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{{2}^{2n+1}}{3}$-n-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、取整函数，考查了推理能力与计算归纳能力，属于中档题．