Question

设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|-|BF|的长为（　　）

• A、2p
• B、p
• C、

  p

  2

• D、4p

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：假设k存在，设AB方程为：y=k（x-

p

2

），与抛物线y²=2px（p＞0）联立得k²x²-（k²+2）px+

k2p2

4

=0，
设两交点为A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），可得根与系数的关系．应用∠CBF=90°，可得（x₁-

p

2

）（x₁+

p

2

）
+y₁²=0，再利用焦点弦长公式即可得出．

解答： 解：假设k存在，设AB方程为：y=k（x-

p

2

），
与抛物线y²=2px（p＞0）联立得k²x²-（k²+2）px+

k2p2

4

=0，
设两交点为A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），
∵∠CBF=90°，∴（x₁-

p

2

）（x₁+

p

2

）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=

p2

4

，∴x₁²+2px₁-

p2

4

=0（x₁＞0），∴x₁=

5 -2

2

p，
∵x₁x₂=

p2

4

，∴x₂=

2+ 5

2

p，
∴|AF|-|BF|=（x₂+

p

2

）-（x₁+

p

2

）=2p，
故选：A．

点评：本题考查了直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、相互垂直与斜率的关系、焦点弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．