Question

在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，，平面，．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）．

试题分析：本题中由于垂直关系较多，由题意易得两两相互垂直，因此可以他们分别为轴建立空间直角坐标系，若设，则，，，，，
这样第（1）题证明线面垂直，计算出，就能证得结论；而第（2）题只要求出平面和平面的法向量，这两个法向量的夹角与所求二面角一定是相等或互补，其中平面是坐标平面平面，其法向量可取，从而只要再求一个法向量即可．当然如果不用空间向量，也可直接证明，第（1）题只要用平面几何知识在直角梯形中证得，又有，线面垂直易得，为此取中点，可得是正方形，，接着可得，正好辅助线就是所求二面角的棱，可证就是平面角，这个角是．
试题解析：（1）由已知，，，两两垂直，可以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．                       （1分）
设，则，，，，
故，，，     （3分）
因为，，故，，
即，，                            （5分）
所以，平面．                              （6分）
（2）因为平面，所以可取平面的一个法向量
为，                                               （1分）
点的坐标为，则，，（2分）
设平面的一个法向量为，则，，
故即取，则，
故．                                    （5分）
设与的夹角为，则． （7分）
所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为． （8分）
解法二：
（1）因为平面，所以，    （1分）
作，为垂足，则四边形是正方形，设，则，，
又，所以是的中点，，所以， 
所以，所以．        （5分）
所以，平面．                        （6分）
（2）连结，由（1）知，又，所以平面，（2分）
所以，所以为所求二面角的平面角．     （4分）
因为△是等腰直角三角形，所以．      （7分）
所以，平面与平面所成的锐二面角的大小为．  （8分）