题目内容
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜
）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
，且图象上一个最高点为M（
，3）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）先把函数y=f（x）的图象向左平移
个单位长度，然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，试写出函数y=g（x）的解析式．
（3）在（2）的条件下，若总存在x0∈[-
，
]，使得不等式g（x0）+2≤log3m成立，求实数m的最小值．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
（1）求f（x）的解析式；
（2）先把函数y=f（x）的图象向左平移
| π |
| 6 |
（3）在（2）的条件下，若总存在x0∈[-
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）依题意知
T=
，由此可求得ω=2；又函数f（x）=Asin（2x+φ）图象上一个最高点为M（
，3），可知A=3，2×
+φ=2kπ+
（k∈Z），结合0＜φ＜
可求得φ，从而可得f（x）的解析式；
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得函数y=g（x）的解析式；
（3）x0∈[-
，
]⇒-
≤cosx0≤1，-
≤3cosx0≤3，依题意知，log3m≥（-
）+2=
，从而可求得实数m的最小值．
| 1 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求得函数y=g（x）的解析式；
（3）x0∈[-
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：（1）∵
T=
，
∴T=
=π，解得ω=2；
又函数f（x）=Asin（2x+φ）图象上一个最高点为M（
，3），
∴A=3，2×
+φ=2kπ+
（k∈Z），
∴φ=2kπ+
（k∈Z），又0＜φ＜
，
∴φ=
，
∴f（x）=3sin（2x+
）；
（2）把函数y=f（x）的图象向左平移
个单位长度，得到f（x+
）=3sin[2（x+
）+
]=3cos2x；
然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=3cosx的图象，
即g（x）=3cosx；
（3）∵x0∈[-
，
]，∴-
≤cosx0≤1，-
≤3cosx0≤3，
依题意知，log3m≥（-
）+2=
，
∴m≥
，即实数m的最小值为
．
| 1 |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴T=
| 2π |
| ω |
又函数f（x）=Asin（2x+φ）图象上一个最高点为M（
| π |
| 6 |
∴A=3，2×
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴φ=2kπ+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
∴φ=
| π |
| 6 |
∴f（x）=3sin（2x+
| π |
| 6 |
（2）把函数y=f（x）的图象向左平移
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
然后再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=3cosx的图象，
即g（x）=3cosx；
（3）∵x0∈[-
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
依题意知，log3m≥（-
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴m≥
| 3 |
| 3 |
点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换及函数恒成立问题，属于中档题．
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