Question

已知函数f（x）=2sin（

π

6

-2x）+a．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）可得f（x）=-2sin（2x-

π

6

）+a，由周期公式可得；（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，解不等式可得；
（3）由x∈[0，

π

2

]可得2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，可得函数取最小值-2+a，结合题意可得a的方程，解方程可得．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sin（

π

6

-2x）+a=-2sin（2x-

π

6

）+a
∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函数f（x）的单调递减区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（3）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴当2x-

π

6

=

π

2

即x=

π

3

时，函数取最小值-2+a，
又函数f（x）的最小值为-2，
∴-2+a=-2，解得a=0

点评：本题考查三角函数的单调性和周期性，属基础题．