题目内容

已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ、m、n使λ $数学公式$ +m $数学公式$ +n $数学公式$ = $数学公式$ ，那么λ+m+n的值等于________．

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分析：根据向量共线的条件，存在实数k，使得 $\text{[math]}$ =k $\text{[math]}$ ．由此化简得 $\text{[math]}$ -（k+1） $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，再与已知等式比较系数，结合讨论即可得到λ+m+n的值为0．
解答：∵A、B、C三点共线，∴存在实数k，使得 $\text{[math]}$ =k $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =k（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），化简整理得： $\text{[math]}$ -（k+1） $\text{[math]}$ +k $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵λ $\text{[math]}$ +m $\text{[math]}$ +n $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴①当k=-1时，比较系数得：m=0且λ=-n，所以λ+m+n=0
②当k≠-1时，可得 $\text{[math]}$ ，得m=（-k-1）λ，n=kλ
由此可得：λ+m+n=λ+（-k-1）λ+kλ=0
综上所述，λ+m+n的值为0
故答案为：0
点评：本题给出三点共线，求向量式中的系数特征．着重考查了平面向量共线的条件和平面向量的基本定理及其意义等知识，属于基础题．