题目内容
已知|
|=4，|
|=3，(2
-3
)•(2
+
)=61，
（1）求
与
的夹角θ；
（2）求|2
-3
|•|2
+
|的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求
| a |
| b |
（2）求|2
| a |
| b |
| a |
| b |
分析：（1）由向量数量积的运算性质，结合题中向量等式算出
•
=-6，再由向量的夹角公式算出
与
的夹角余弦值为-
，结合两个向量夹角的取值范围，即可得到
与
的夹角θ值；
（2）由向量模的公式，算出|2
-3
|=
=
，同理得到|2
+
|=7，代入即得所求式子的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 1 |
| 2 |
| a |
| b |
（2）由向量模的公式，算出|2
| a |
| b |
(2
|
| 217 |
| a |
| b |
解答：解：（1）∵(2
-3
)•(2
+
)=61，∴
2-3
2-4
•
=61，
解之得
•
=-6，
故cosθ=
=-
，
结合θ∈[0，π]，可得θ=
．…（5分）
（2）∵|2
-3
|2=4
2+9
2-12
•
=217，
∴|2
-3
|=
，
同理|2
+
|2=4
2+
2+4
•
=49，可得|2
+
|=7
因此|2
-3
|•|2
+
|=7
．…（10分）
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
解之得
| a |
| b |
故cosθ=
| ||||
|
| 1 |
| 2 |
结合θ∈[0，π]，可得θ=
| 2π |
| 3 |
（2）∵|2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴|2
| a |
| b |
| 217 |
同理|2
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
因此|2
| a |
| b |
| a |
| b |
| 217 |
点评：本题给出两个向量的模，在已知另一个数量积的情况下求向量的夹角与模的积．着重考查了平面向量的数量积的定义与运算性质、向量模的公式等知识，属于基础题．
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