题目内容
已知|
|=4，|
|=3，（2
-3
）•（2
+
）=61．
（1）求
与
的夹角为θ；
（2）求|
+
|；
（3）若
=
，
=
，作三角形ABC，求△ABC的面积．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求
| a |
| b |
（2）求|
| a |
| b |
（3）若
| AB |
| a |
| AC |
| b |
分析：（1）由，（2
-3
）•（2
+
）=61，可求得
•
=-6，利用向量夹角公式可得θ；
（2）可先平方转化为向量的数量积．
（3）由（1）知∠BAC=θ=120°，利用三角形面积公式可得答案；
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（2）可先平方转化为向量的数量积．
（3）由（1）知∠BAC=θ=120°，利用三角形面积公式可得答案；
解答：解：（1）由（2
-3
）•（2
+
）=61，得4|
|2-4
•
-3|
|2=61，
∵|
|=4，|
|=3，代入上式求得
•
=-6．
∴cos θ=
=
=-
．
又θ∈[0，π]，∴θ=120°．
（2）∵|
+
|2=（
+
）2=|
|2+2
•
+|
|2
=42+2×（-6）+32=13，∴|
+
|=
．
（3）由（1）知∠BAC=θ=120°，
|
|=|
|=4，|
|=|
|=3，
∴S△ABC=
|
||
|sin∠BAC
=
×3×4×sin 120°=3
．
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
∵|
| a |
| b |
| a |
| b |
∴cos θ=
| ||||
|
|
| -6 |
| 4×3 |
| 1 |
| 2 |
又θ∈[0，π]，∴θ=120°．
（2）∵|
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| a |
| b |
| b |
=42+2×（-6）+32=13，∴|
| a |
| b |
| 13 |
（3）由（1）知∠BAC=θ=120°，
|
| AB |
| a |
| AC |
| b |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| AC |
| AB |
=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查向量的模、用数量积求向量夹角、三角形面积公式等知识，属中档题．
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