Question

1．在平面直角坐标系中，定点F₁（1，0），F₂（-1，0），动点P与两定点F₁，F₂距离的比为一个正数m．
（1）求点P的轨迹方程C，并说明轨迹是什么图形；
（2）若m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点A（1，2）作倾斜角互补的两条直线，分别交曲线C于P，Q两点，求直线PQ的斜率．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），由题意得$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=m，（m＞0），由此能求出结果．
（2）当m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，曲线C：（x-3）²+y²=8，设直线AP：y-2=k（x-1），P（x₁，y₁），则直线AQ：y-2=-k（x-1），联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2-k}\\{（x-3）^{2}+{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+（-2k²+4k-6）x+k²-4k+5=0，由此利用韦过定理、直线方程能求出直线PQ的斜率．

解答 解：（1）设P（x，y），由题意得$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$=m，（m＞0），
即|PF₁|=m|PF₂|，∴$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=m$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
∴（m²-1）（x²+y²）+2（m²+1）x+m²-1=0，
当m=1时，点P的轨迹方程为x=0，表示y轴．
当m≠1时，点M的轨迹方程为${x}^{2}+{y}^{2}+2（\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}-1}）x+1=0$，
即（x+$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}-1}$）²+y²=$\frac{4{m}^{2}}{（{m}^{2}-1）^{2}}$，
表示圆心为（-$\frac{{m}^{2}+1}{{m}^{2}-1}$，0），半径为$\frac{2m}{|{m}^{2}-1|}$的圆．
（2）当m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，由（1）得曲线C：（x-3）²+y²=8，
设直线AP：y-2=k（x-1），P（x₁，y₁），则直线AQ：y-2=-k（x-1），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2-k}\\{（x-3）^{2}+{y}^{2}=8}\end{array}\right.$，得（1+k²）x²+（-2k²+4k-6）x+k²-4k+5=0，
∴x₁•1=$\frac{{k}^{2}-4k+5}{1+{k}^{2}}$，即${x}_{1}=\frac{{k}^{2}-4k+5}{1+{k}^{2}}$，
此时y₁=kx₁+2-k，
同理，${x}_{2}=\frac{{k}^{2}+4k+5}{1+{k}^{2}}$，y₂=-kx₂+2+k，
∴k_PQ=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{（-k{x}_{2}+2+k）-（k{x}_{1}+2-k）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k（{x}_{1}+{x}_{2}）+2k}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，
将x₁，x₂代入得k_PQ=$\frac{-k[（{x}_{1}+{x}_{2}）-2]}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{-k[（\frac{{k}^{2}-4k+5}{1+{k}^{2}}+\frac{{k}^{2}+4k+5}{1+{k}^{2}}）-2]}{\frac{{k}^{2}+4k+5}{1+{k}^{2}}-\frac{{k}^{2}-4k+5}{1+{k}^{2}}}$=-1，
∴直线PQ的斜率为-1．

点评 本题考查点的轨迹的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式、圆、韦达定理等知识点的合理运用．