Question

19．设命题$p：?x∈[0，\frac{π}{2}]，{cos^2}$x+2cosx-a=0；命题q：?x∈R，使得x²+2ax-8+6a≥0，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p，q成立的等价条件，利用p∨q为真命题，p∧q为假命题，确定实数c的取值范围确定实数a的取值范围

解答 解：设t=cosx，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，
∴t∈[0，1]，
则有?t∈[0，1]，使a=t²+2t成立，
∵t∈[0，1]时，t²+2t∈[0，3]，
∴p为真时a∈[0，3]，
∵?x∈R，x²+2ax-8+6a≥0成立，
∴△≤0，即a²-6a+8≤0，
∴a∈[2，4]，
∴q为真时a∈[2，4]，
∵p∨q为真，p∧q为假，
∴p，q一个真一个假
当p真q假时，a∈[0，2），
当p假q真时，a∈（3，4]，
∴实数a的取值范围是[0，2）∪（3，4]．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．