Question

19．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2S_n=3ⁿ+3．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n•b_n=log₃a_n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过$2{S_n}={3^n}+3$可知$2{a_n}=2{S_n}-2{S_{n-1}}={3^n}-{3^{n-1}}$，化简可知${a_n}={3^{n-1}}$，进而验证当n=1时是否成立即可；
（2）通过（1）即a_nb_n=log₃a_n可知当n＞1时${b_n}={3^{1-n}}{log_3}{3^{n-1}}=（{n-1}）•{3^{1-n}}$，利用错位相减法计算可知${T_n}=\frac{13}{12}+\frac{6n+3}{{4×{3^n}}}$，进而检验当n=1时是否成立即可．

解答 解：（1）因为$2{S_n}={3^n}+3$，所以，2a₁=3+3，故a₁=3，
当n＞1时，$2{S_{n-1}}={3^{n-1}}+3$，
此时，$2{a_n}=2{S_n}-2{S_{n-1}}={3^n}-{3^{n-1}}$，即${a_n}={3^{n-1}}$，
所以，${a_n}=\left\{{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{3^{n-1}}，n＞1}\end{array}}\right.$．
（2）因为a_nb_n=log₃a_n，所以${b_1}=\frac{1}{3}$，
当n＞1时，${b_n}={3^{1-n}}{log_3}{3^{n-1}}=（{n-1}）•{3^{1-n}}$，
所以${T_1}={b_1}=\frac{1}{3}$，
当n＞1时，${T_n}={b_1}+{b_2}+{b_3}+…+{b_n}=\frac{1}{3}+（{1×{3^{-1}}+2×{3^{-2}}+…+（{n-1}）{3^{1-n}}}）$．
所以$3{T_n}=1+（{1×{3^0}+2×{3^{-1}}+…+（{n-1}）{3^{2-n}}}）$，
两式相减，得$2{T_n}=\frac{2}{3}+（{{3^0}+{3^{-1}}+{3^{2-n}}}）-（{n-1}）•{3^{1-n}}=\frac{2}{3}+\frac{{1-{3^{1-n}}}}{{1-{3^{-1}}}}-（{n-1}）•{3^{1-n}}=\frac{13}{6}-\frac{6n+3}{{2×{3^n}}}$，
所以${T_n}=\frac{13}{12}+\frac{6n+3}{{4×{3^n}}}$，经检验，n=1时也适合，
综上可得：${T_n}=\frac{13}{12}+\frac{6n+3}{{4×{3^n}}}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查错位相减法，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．