Question

从椭圆+=1(a＞b＞0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F₁,且它的长轴右端点A与短轴上端点B的连线AB∥OM.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若Q是椭圆上任意一点，F₂是右焦点，求∠F₁QF₂的取值范围;

(3)过F₁作AB的平行线交椭圆于C、D两点，若|CD|=3，求椭圆的方程.

Answer 1

解：(1)由已知可设M(-c,y),

    则有+=1.

    ∵M在第二象限，∴M(-c,).

    又由AB∥OM,可知k_AB=k_OM.

    ∴-=-.∴b=c.

    ∴a=b.

    ∴e==.

    (2)设|F₁Q|=m,|F₂Q|=n,则m+n=2a,mn＞0.|F₁F₂|=2c,a²=2c²,

    ∴cos∠F₁QF₂=

    =

    =-1

    =-1≥-1

    =-1=0.

    当且仅当m=n=a时，等号成立.

    故∠F₁QF₂∈［0,］.

    (3)∵CD∥AB,k_CD=-=-.

    设直线CD的方程为y=-(x+c),

    即y=-(x+b).

    则消去y,整理得

    (a²+2b²)x²+2a²bx-a²b²=0.

   设C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂),∵a²=2b²,

    ∴x₁+x₂=-=-=-b,

    x₁·x₂=-=-=-.

    ∴|CD|=|x₁-x₂|

    =·

    =·

    ==3.

    ∴b²=2,则a²=4.

    ∴椭圆的方程为+=1.